[수학] Schur complement 및 Woodbury matrix identity

이번 포스팅에서는 자주 사용되는 행렬 관계식 중 하나(Woodbury matrix identity)를 정리하려고 합니다.

Woodbury matrix identity는 아래와 같습니다.

 

$$(A+UCV)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U(C^{-1} + VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$$

 

양변에 (A+UCV)를 곱하면 쉽게 Identity matrix가 나옴을 알 수 있습니다.

하지만 schur complement 행렬을 이용해서도 도출할 수 있습니다.

아래와 같이 M이라는 큰 행렬을 A, B, C, D라는 작은 부분 행렬로 표현된다면 

행렬 M의 블록 D or A의 schur complement 행렬은 아래와 같습니다.

$$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix}$$

$$S_A = A - BD^{-1}C$$

$$S_D = D - CA^{-1}B$$

 

그리고 행렬 M의 역행렬을 아래와 같이 A와 D의 2가지 schur complement로 LDU 분해할 수 있습니다.

$$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix}^{-1}  = \bigg(\begin{bmatrix} I_p & BD^{-1} \\ 0 & I_q \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S_A & 0 \\ 0 & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_p & 0 \\ D^{-1}C & I_q \end{bmatrix}\bigg)^{-1} \\ =\bigg(\begin{bmatrix} I_p & 0 \\ CA^{-1} & I_q \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & S_D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_p & A^{-1}B \\ 0 & I_q \end{bmatrix}\bigg)^{-1}$$

 

각각을 전개를 하면 아래의 관계식을 얻을 수 있습니다.

$$\begin{bmatrix} S_A^{-1} & -S_A^{-1}BD^{-1} \\ -D^{-1}CS_A^{-1} & D^{-1} + D^{-1}CS_A^{-1}BD^{-1} \\ \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} A^{-1} + A^{-1} B S_D^{-1} C A^{-1} & -A^{-1} B S_D^{-1} \\ -S_D^{-1}C A^{-1} & S_D^{-1} \\ \end{bmatrix}$$

 

첫 번째 항만 풀어서 비교를 하면 Woodbury matrix identity와 같은 식임을 알 수 있습니다.

$$(A - BD^{-1}C)^{-1} = A^{-1} + A^{-1} B (D-CA^{-1}B)^{-1} C A^{-1}$$

 

 

감사합니다.