[수학] Poisson, Bernoulli, binomial distribution

이번 포스팅에서는 자주 사용되는 확률 분포들을 간략하게 정리하고자 합니다.

확률 분포는 푸아송 분포, 베르누이 분포, 이항 분포입니다!

 

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푸아송(Poisson) 분포

푸아송 분포의 확률 질량 함수(Probability mass function)은 아래와 같습니다.

$$f(k;\lambda )=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$$

 

여기서 변수 λ는 단위 시간 당 사건이 발생할 기댓값을 의미합니다.

즉, 확률 질량 함수는 단위 시간 당 λ번 발생하길 기대하는 사건이 k번 발생할 확률을 의미합니다.

 

또한, 푸아송 분포에는 평균과 분산이 모두 λ라는 특징이 있습니다.

$$\mathbb{E}(X) = Var(X) = \lambda$$

 

 

 

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베르누이(Bernoulli) 분포

베르누이 분포는 확률 변수 X가 0과 1을 각각 q와 p(=1-q)의 확률로 가질 때 확률 변수의 분포입니다.

이는 아래와 같이 적을 수 있습니다.

$$P(X=0)=q, P(X=1)=p, 0\leq p \leq 1, q = 1-p$$

 

 

 

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이항(binomial) 분포

이항분포는 확률 p를 가지는 시행을 n번 독립 시행 시 가지는 분포입니다.

 

확률 질량 함수, 즉 n번의 독립 시행 시 k번 발생할 확률은 아래와 같습니다.

$$f(k;n,p)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

 

평균과 분산은 아래와 같습니다.

$$\mathbb{E}(X) = np$$

$$Var(X) = np(1-p)$$

 

참고로, n = 1인 이항 분포는 베르누이 분포가 됩니다.

또한, n이 매우 크고 p가 매우 작을 시 이항 분포는 λ=np인 포아송 분포로 근사할 수 있습니다.

 

 

 

 

감사합니다.